زوایای مثلث بیشتر از ۱۸۰ درجه است!

برنهارد ریمان هندسه ریمانی شاخه‌ای از هندسه دیفرانسیل است که بررسی خمینههای ریمانی می‌پردازد. یک خمینه ریمانی خمینه ایست که مجهز به یک متریک ریمانی می‌باشد یعنی یک ضرب داخلی در فضای مماس بر هر نقطه خمینه که بطور هموار تغییر می‌کند. هندسه ریمانی در قرن نوزدهم توسط برنهارد ریمان پایه گذاری شد.

هندسه ریمانی در نظریه نسبیت عام انیشتین نقش اساسی دارد. هندسه ریمانی مهمترین و پرکاربردترین شاخهٔ هندسه دیفرانسیل می‌باشد.

هندسهٔ ریمانی کاربردی یعنی هندسه‌ای که در آن فضا و زمان خمیده‌است. مثلا اگر خطی واقع بر سطح یک کره را در نظر بگیرید از هیچ نقطه خارج آن خط نمی‌توان خطی به موازات خط اولیه رسم کرد در حالیکه در هندسهٔ اقلیدسی این کار کاملا ممکن است. 👈👈 در این هندسه مجموع زوایای مثلث بیشتر از ۱۸۰ درجه‌است!! 👉👉

این ساختار منجر به فرموله کردن نسبیت عام انشتین شده و اثرات ژرفی را بر روی نظریه گروه‌ها، نظریه نمایش، و آنالیز ایجاد کرده و موجب توسعه توپولوژی جبری و توپولوژی دیفرانسیل گشته است.

در هندسه اقلیدسی مجموع زوایای داخلی مثلث ۱۸۰ درجه است، اما در هندسه نااقلیدسی ریمان مجموع زوایای داخلی مثلث بیشتر از ۱۸۰ درجه است. هدف «ریمان»، معرفی روشی تازه در ریاضیات بود که او را قادر به توصیف تمام سطوح، صرف‌نظر از میزان انحنای آنها بکند.

رویه‌های ریمانی به‌طور عام، مجموعه اشیایی در ریاضی است که در آن‌ها امکان تعریف و توسعه توابع مختلط (تحلیلی یا دارای تَکینی) و هارمونیک شدنی است. به سخن ساده‌تر، همانند فضاهای برداری که محلی برای تعریف و توسعه توابع و نگاشت‌های خطی اند، رویه‌های ریمانی نیز محلی برای تعریف و توسعه آنالیز و توابع مختلط می‌باشند.