فصل ۷ ریاضی هفتم،توان و جذر قسمت ۱

سلاام این فصل یکی از مهم ترین بخش های ریاضیاته که همه جا کاربرد داره. در این پارت میخوایم با توان اشنا بشیم.

🔵توان حتما یادتونه که برای برای جمع کردن چند عدد یکسان اونا رو به تعداد در هم ضرب می‌کردیم؟مثلاً برای محاسبه ۳+۳+۳+۳ می‌گفتیم چون چهار تا سه رو با هم جمع کردیم، پس حاصل برابره با ۳×۴=۱۲.حالا اگر بخواهیم چند عدد رو در خودش ضرب کنیم از توان استفاده میکنیم برای مثال اگر بخوایم پنج تا عدد دو را در هم ضرب کنیم ۲×۲×۲×۲×۲،عدد را به صورت ۲ به توان ۵ مینویسیم و میخونیم. در اینجا ۲ رو پایه و ۵ رو توان میگیم.به طور کلی اگر a را b بار در خودش ضرب کنیم اون وقت حاصل برابره با a به توان b. و در این صورت a را پایه و b را توان مینامیم.

🔵توان رساندن اعداد منفی توجه داشته باشید که برای به توان رسوندن اعداد منفی باید حتما از پرانتز استفاده کنیم چون در غیر این صورت فقط خود عدد رو به توان رسونده‌ایم در حالی که علامت اون هم باید به توان برسد.مثلا ۲- به توان ۲ را به صورت بالا در عکس مینویسیم.اگر به حالت دوم بنویسیم حاصل میشه ۴-. ⭐️ اگر در این نوع اعداد توان زوج باشد عدد مثبت، اما اگر توان فرد باشد عدد منفی میشود

🔵توان رساندن اعداد منفی توجه داشته باشید که برای به توان رسوندن اعداد منفی باید حتما از پرانتز استفاده کنیم چون در غیر این صورت فقط خود عدد رو به توان رسونده‌ایم در حالی که علامت اون هم باید به توان برسد.مثلا ۲- به توان ۲ را به صورت بالا در عکس مینویسیم.اگر به حالت دوم بنویسیم حاصل میشه ۴-. ⭐️ اگر در این نوع اعداد توان زوج باشد عدد مثبت، اما اگر توان فرد باشد عدد منفی میشود

🔵توان رسانی اعداد کسری اگر بخوایم اعداد کسری رو به توان برسونیم باید هم صورت کسر و هم مخرج کسر رو به توان برسونیم برای مثال داریم دو سوم به توان دو(در پرانتز)، در این صورت دو را به توان دو میرسونیم و سه رو هم به توان دو میرسونیم که جواب میشه ۴ بر روی ۹. برای به توان رسوندن اعداد کسری باید حتما از پرانتز استفاده کنیم یعنی هم باید صورت رو به توان برسونیم هم مخرج رو. اگر پرانتز نزاریم توان فقط برای صورت حساب میشه.

🔵 قانون های توان ⭐️ هر عدد به توان یک برابره با خود آن عدد. ⭐️هر عدد غیر صفر به توان صفر برابره با یک. ⭐️اگر دو عدد توان دار با پایه های مساوی در هم ضرب بشن، یکی از پایه ها رو مینویسیم و توان ها رو با هم جمع میکنیم. ⭐️اگر دو عدد توان با پایه های مساوی، بر هم تقسیم بشن، یکی از پایه ها رو مینویسیم و توان ها رو از هم کم میکنیم. ⭐️ اگر عدد توان دار به توان عددی برسد پایه ها رو مینویسیم و توان ها را در هم ضرب میکنیم. ⭐️فرض کنین که یه توان یه عدد یه توان برسه! در این صورت باید حاصل توانِ توان رو حساب کنین و بعد پایه اصلی رو بتوان حاصل برسونیم.مثلا داریم ۲ به توان ۳بتوان ۱، اول ۳ به‌توان یک رو حساب میکنیم که میشه ۳، بعد ۲ رو به‌توان ۳ میرسونیم که میشه ۸. ❗️حواستون باشه که ۲ تا نکته قبل، حاصلشون با هم برابر نیستن❗️ ⭐️اگر دو عدد توان دار با توان های مساوی در هم ضرب بشن پایه ها رو در هم ضرب کرده و یکی از توان ها رو مینویسیم. ⭐️اگر دو عدد توان دار با توان های مساوی بر هم تقسیم بشن پایه ها رو بر هم تقسیم می کنیم و یکی از توان ها رو مینویسیم.

🔵 جمع و تفریق اعداد توان دار یکی از مباحث پر کاربردیه که در خیلی از مسابقات و آزمون ها این مباحث دیده می شه معمولا سه نوع مختلف سوال مطرح میکنن که در اینجا به بررسی آنها می پردازیم.

⭐️نوع اول، جمع چند عدد توان دار با پایه و توان های یکسان= در این صورت یکی از اعداد را نوشته و در تعداد آنها ضرب می کنیم ⭐️نوع دوم ،جمع و تفریق چند عدد توان دار با پایه های برابر و توان های مختلف= در این صورت از پایه با توان کم فاکتور می گیریم. در واقع برای فاکتورگیری از پایه با توان کمتر در یک عبارت جمع ی تفریق که همه اعداد توان دار در آن شامل پایه های یکسان هستن به صورت زیر عمل می کنیم: ۱.عدد با کمترین توان را پیدا می کنیم. ۲. همه اعداد حاضر در حاصل جمع را بر عدد با کمترین توان تقسیم می کنیم. ۳. اعداد به دست آمده در مرحله دوم را با هم جمع می کنیم چهار عدد عدد با کمترین توان را در حاصل جمع به دست آمده در مرحله سوم ضرب می کنیم. البته شما با فاکتورگیری در سال هشتم آشنا می شین. ⭐️نوع سوم،جمع و تفریق چند عدد توان دار با پایه و توان های مختلف= این نوع مسائل معمولا به گونه ای طرح می شن که بشه در اون پایه ها رو یکی کرد.

⭐️نوع اول، جمع چند عدد توان دار با پایه و توان های یکسان= در این صورت یکی از اعداد را نوشته و در تعداد آنها ضرب می کنیم ⭐️نوع دوم ،جمع و تفریق چند عدد توان دار با پایه های برابر و توان های مختلف= در این صورت از پایه با توان کم فاکتور می گیریم. در واقع برای فاکتورگیری از پایه با توان کمتر در یک عبارت جمع ی تفریق که همه اعداد توان دار در آن شامل پایه های یکسان هستن به صورت زیر عمل می کنیم: ۱.عدد با کمترین توان را پیدا می کنیم. ۲. همه اعداد حاضر در حاصل جمع را بر عدد با کمترین توان تقسیم می کنیم. ۳. اعداد به دست آمده در مرحله دوم را با هم جمع می کنیم چهار عدد عدد با کمترین توان را در حاصل جمع به دست آمده در مرحله سوم ضرب می کنیم. البته شما با فاکتورگیری در سال هشتم آشنا می شین.بعد از اینکه محتوای ریاضی هشتم رو گذاشتم میتونین برین به فصل ۴ ریاضی هشتم. ⭐️نوع سوم،جمع و تفریق چند عدد توان دار با پایه و توان های مختلف= این نوع مسائل معمولا به گونه ای طرح می شن که بشه در اون پایه ها رو یکی کرد.

🔵مقایسه اعداد توان دار قبلا با مقایسه اعداد علامت دار و کسری آشنا شدیم و بلدیم چطوری با هم مقایسه شون کنیم. اما در اینجا می خوایم به مقایسه عددهای تواندار بپردازیم. اگر اعداد توانمون دارای توان و پایه های کوچک باشن و قابل محاسبه باشن هر کدوم رو جداگونه حساب می کنیم و با هم مقایسه می کنیم. اما اگه توان یا پایه های اون ها اونقدری بزرگ بودن که نمی تونیم مقدار عددی دقیقشون رو به دست بیاریم یک سری روش هایی براشون وجود داره.

🔺️مقایسه توان ها: برای مقایسه دو عدد توان دار اگه بتونید پایه ها رو یکی کنین توان های اون دو عدد رو با هم مقایسه می کنیم.توجه کنید که عدد مثبته یا منفی.اگر منفی به توان فرد برسه، عددی بزرگتره که توانش کوچیک تر باشه. 🔺️مقایسه پایه ها: اگر بتونیم توان ها رو یکی کنیم پایه ها رو با هم مقایسه می کنیم. از این روش معمولا وقتی استفاده می کنیم که توان های اون دو عدد مورد نظرمون مضرب بک عدد خاص باشند. 🔺️تو بعضی از مسائل نه می شه توان ها رو یکی کرد نه پایه ها رو و ما مجبوریم که با استفاده از قوانین توان،رابطه بین اون دو عدد رو پیدا کنیم.

🔵 مربع کامل و مکعب کامل 🔺️ اعداد مربع کامل اعدادی هستند که در تجزیه به اعداد اول توان تمام شمارنده های اول اونا زوج باشه. 🔺️اعداد مکعب کامل اعدادی هستند که در تجزیه آنها به شمارنده های اول توان تمام شماره های اول آنها مضرب سه باشد. ⭐️ نکته :اعدادی هم داریم که هم مربع کامل باشند هم مکعب کامل. در این صورت توان شمارنده های اول اونا مضرب ۶ هستش یعنی هم بر ۲ بخش پذیره هم بر ۳.

🔵 محاسبه رقم یکان عدد توان دار در بعضی از مسائل به ما یه عدد داده می شه که به توان می رسه و یکان اون جوابمون رو می خواد.برای به دست آوردن یکان اونا یه سری قوانینی وجود داره که می خوایم بهش بپردازیم.

⭐️عددهایی که رقم یکان توان های اون ها همیشه ثابته=اعداد ۰، ۱، ۵ و ۶ اگر یکان عدد ما باشند هرچقدر این عدد رو به توان برسونیم رقم یکانش هیچ تغییری نمی کنه و برابر با همون عدد هستش. ⭐️ عددهایی که رقم یکان اونا با توان های مختلف دوتا دوتا تکرار می شه= عدد ۴ و ۹رو در نظر بگیرید. اگر چهار به توان عدد فرد برسه رقم یکان عدد حاصل برابر با خودش یعنی چهار هست و اگر به توان عدد زوج برسه رقم عدد حاصل برابر ۶ هست. اگر ۹ به توان عددی فرد برسه رقم یکانش برابر ۹ هست و اگر به توان عدد زوج برسه رقم گانش برابر با ۱. ⭐️عددهایی که رقم یکان توان های آنها چهار تا چهار تا تکرار می شوند= رقم های ۲، ۳، ۷ و ۸ رو در نظر بگیرید. این اعداد اگر بر یکان اعدادی قرار بگیرن و بخوایم اون اعداد رو به توان برسونیم می تونند چهار حالت مختلف داشته باشند که بر اساس توان تعیین می کنیم.

🔵تعداد صفرها در اعداد توان دار فرض کنید تجزیه یک عددی را به ما داده اند و از ما تعداد صفرهای سمت راست اون عدد رو می خوان.اگر اون عدد به شمارنده های اول تجزیه شده باشه باید به توان های شمارنده های ۲ و ۵ توجه کنین. هرکدوم که کمتر بود، تعداد صفرهای سمت راست عدد ما هستش.

🔵معادلات توانی اگر یادتون باشه در فصل سوم با معادله آشنا شدیم و معادلات توانی یکی از این نوع معادلات هستند. اگر توان مجهول داشته باشیم معمولا پایه های دو طرف رو با هم مساوی می کنیم و توان ها رو مساوی همدیگه قرار می دیم و مقدار مجهول مون رو حساب می کنیم.