بزرگ ترین عدد دنیا

فکر می‌کنید بزرگ‌ترین عددی که می‌توانید تصور کنید چیست؟ حالا تصور کنید عددهایی وجود داشته باشند که حتی تصور دقیقشان هم برای ذهن انسان ممکن نباشد... در این پست قدم‌به‌قدم وارد دنیای اعداد غول‌آسا می‌شویم. از عددهایی با صدها رقم گرفته تا عددهایی که تعداد رقم‌هایشان خودشان یک عدد باورنکردنی است. اما هرچه جلوتر می‌رویم، چیزی که فکر می‌کردیم «خیلی بزرگه» ناگهان در برابر عدد بعدی تقریبا ناچیز می‌شود. آخر این مسیر، با عددهایی روبه‌رو می‌شویم که فقط می‌توانیم تعریفشان کنیم، نه تصورشان.

بزرگ‌ترین عدد در ریاضیات در ریاضیات، بزرگ‌ترین عدد وجود ندارد. زیرا برای هر عددی که در نظر بگیریم، می‌توان با افزودن یک واحد به آن، عددی بزرگ‌تر به دست آورد. برای مثال: ۱۰۰۰ < ۱۰۰۱ < ۱۰۰۲ < ... این روند هیچ نقطهٔ پایانی ندارد و نمی‌توان عددی را یافت که از تمام اعداد دیگر بزرگ‌تر باشد. بنابراین، اعدادی که در ادامه با آن‌ها آشنا خواهیم شد، «بزرگ‌ترین عددهای جهان» نیستند؛ بلکه نمونه‌هایی از اعداد بسیار بزرگی هستند که در ریاضیات به‌طور دقیق تعریف شده‌اند. اما این اعداد تا چه اندازه می‌توانند بزرگ باشند؟

چیست؟ در حاضر بزرگ‌ترین عدد اول شناخته‌شده در جهان « 1 _2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹ » است. حدود ۴۱ ملیون رقم دارد و اسمش M136279841 است. کِی؟ اکتبر ۲۰۲۴ توسط لوک دوران ( Luke Durant ) در پروژه‌ی GIMPS پیدا شد. هزاران نفر با کامپیوترهایشان در این پروژه برای پیدا کردن اعداد اول مرسن جست‌وجو می‌کنند. چرا ؟ برای اینکه بفهمند آیا عددی با این شکل واقعاً اول است یا نه و رکورد بزرگ‌ترین عدد اول شناخته‌شده را جابه‌جا کنند.

چیست؟ گوگول ( googol ) برابر است با : 10¹⁰⁰ یعنی : ۱ + ۱۰۰‌صفر پس ۱۰۱ رقم دارد. کِی؟ در سال ۱۹۳۸ ادوارد کسنر ، ریاضی‌دان آمریکایی (Edward Kasner) این عدد را مطرح کرد و از خواهر زاده ی ۹ ساله اش ، میلتون سیروتا (Milton Sirotta) ، خواست یک نام برایش انتخاب کند. او نام گوگول(googol ) را انتخاب کرد. چرا؟ هدف کسنر این بود که برای یک عدد بسیار بزرگ ، یک اسم ساده و قابل استفاده داشته باشند ، به خصوص برای توضیح اعداد بزرگ به مردم و کودکان.

چیست؟ گوگول پلکس( googol plex) یعنی: ۱۰ به توانِ (۱۰ به توان ۱۰۰) یعنی : ۱+ یک گوگول تا صفر. یعنی تعداد صفر هایش ۱۰¹⁰⁰ است. کِی؟ ماجرا مربوط به همان داستان googol است. ادوارد کسنر اصطلاح googol plex را در دهه ی ۱۹۳۰ معرفی کرد و بعد تعریف دقیق ریاضی آن به شکل امروزی در آمد. چرا؟ برای ساختن یک عدد بسیار بزرگ تر از گوگول ، اما با یک تعریف دقیق. در ابتدا قرار بود عددی ساخته شود که آنقدر صفر داشته باشد تا آدم از نوشتنش خسته شود! بعد ، کسنر این تعریف را به تعریف دقیق امروزی تبدیل کرد. نکته: توضیحی برای تفهیم بیشتر گوگول پلکس : در نظر می‌گیریم : x=۱۰۰ X چند رقم دارد؟ ۳ حالا ما می‌خواهیم y را بسازیم. طوری که تعداد صفر هایش به تعداد x باشد. شاید فکر کنید ، این عدد ۳ تا صفر دارد. اما در حقیقت ، y دارای ۱۰۰ صفر است. یعنی ۴ رقم نیست ، بلکه ۱۰۱ رقم است. حالا در نظر بگیرید که گوگول=x و گوگول پلکس =y است. گوگول پلکس دارای یک گوگول صفر است. یعنی چند صفر دارد؟.....

چیست؟ عدد گراهام (Graham's nomber) یک عدد فوق العاده بزرگ است که از یک مسئله در شاخه ای از ریاضیات(Ramsey theory/نظریه رمزی ) به وجود آمد. این عدد از اول برای ساختن بزرگ ترین عدد دنیا ساخته نشده بود. گراهام از آن برای یک کران بالا برای جواب یک مسئله استفاده کرد. یعنی میخواست نشان دهد جواب مسئله حتما از این عدد کوچک تر است. کِی؟ عدد گراهام در دهه ی ۱۹۷۰ مطرح شد و مارتین گاردنر در نوامبر ۱۹۷۷ در مجله ی سایتنیفیک امریکن (Scientific American) معرفی کرد.(جلد ۲۳۷، شمارهٔ ۵، صفحات ۱۸ تا ۲۸ ، ستون Mathematical Games) چرا؟ چون برای تعریفش از یک روش خاص برای نوشتن عملیات ریاضی استفاده می شود که به مراتب فرا تر از توان معمولی است. برای مثال داریم: ۱۰ به توان ۱۰ (۱0¹⁰) حالا مرحله ی بعد داریم: ۱۰ به توان ۱۰ به توان ۱۰ و برای مرحله ی بعدی: ۱۰ به توان ۱۰ به توان ۱۰ به توان ۱۰ و..... فقط برای عدد گراهام از روشی به اسم پیکان گنوث استفاده می‌شود. یعنی مثلا :3³ =۳↑3 و بعد: ۳↑↑۳ یعنی : ۳ به توان ۳ به توان ۳ و ...

چیست؟ (TREE(3 حاصل یک تابع ریاضی به نام TREE function است که به مسئله ای درباره ی درختهای TREE (تابع) ریاضی مربوط می‌شود. در اینجا "درخت" به معنی ساختاری از نقطه ها و شاخه ها است. به صورت ساده ، دنباله ای از این درخت ها ساخته می شود و باید شرایط خاصی را رعایت کند. کِی؟ هاروی فریدمن (Harvey Friedman) در دهه ی ۱۹۸۰ با استفاده از تابع TREE ، TREE(3) را تعریف کرد. چرا؟ به دلیل روش جالبش: TREE(1) = 1 TREE(2) = 3 ...= TREE(3) دیگر قابل نوشتن نیست. (عدد گراهام در مقابل TREE(3) بسیار بسیار کوچک است)

چیست؟ Riyo's nomber(عدد ریو) یک عدد بسیار عظیم است که به یک ایده ی بسیار جالب درباره ی زبان و تعریف کردن اعداد مربوط می‌شود. کِی؟ در ۲۶ ژانویه ۲۰۰۷ ، آگوستین ریو (Augustin riyo)و آدام الگا ( Adam elga) رویدادی به نام دوئل اعداد بزرگ (Big nomber duel) برگزار کردند. در این رقابت ، ریو تعریف برنده ای را ارائه کرد که بعد ها به عدد ریو معروف شد. چرا؟ چون تعریف بسیار جذابی دارد و ایده ی ساده شده اش این است: " بزرگ ترین عددی را در نظر بگیر که می توان با یک فرمول ریاضی مشخص ، با حداکثر یک گوگول نماد تعریفش کرد؛ بعد عددی بزرگ‌تر از آن انتخاب کن. " نکته: ریو بزرگ ترین عدد ممکن نیست . چون همیشه می توان گفت : ریو+۱ و این عدد از ریو بزرگ تر است.

آیا می توانیم این اعداد را تصور کنیم؟ گوگول هنوز قابل نوشتن است: ۱ با ۱۰۰ صفر پشت سرش. می‌توانیم شکلش را روی کاغذ ببینیم. اما گوگول‌پلکس را نمی‌توانیم به‌صورت کامل بنویسیم. چون برای نوشتنش به یک گوگول صفر نیاز داریم. حتی اگر هر صفر را روی یک نقطه‌ی بسیار کوچک از کاغذ بنویسیم، باز هم تعدادشان فراتر از چیزی است که بتوانیم عملاً ثبت کنیم. از اینجا به بعد، مسئله فقط «بزرگ بودن» نیست. مغز ما دیگر نمی‌تواند برای عدد یک تصویر ذهنی دقیق بسازد. مثلاً می‌توانیم یک میلیون دانه شن را تا حدی تصور کنیم، یا یک میلیارد را با مقایسه و مثال توضیح دهیم. اما برای اعدادی مثل عدد گراهام، TREE(3) و ریو، حتی چنین مقایسه‌هایی هم کم‌کم از کار می‌افتند. ما این اعداد را بیشتر می‌فهمیم تا اینکه واقعاً تصورشان کنیم. یعنی می‌دانیم چگونه تعریف شده‌اند، می‌دانیم از چه اعدادی بزرگ‌ترند و می‌دانیم چه ویژگی‌هایی دارند، اما نمی‌توانیم یک «عکس ذهنی» از اندازه‌ی واقعی‌شان داشته باشیم. و این شاید عجیب‌ترین بخش ماجرا باشد: بعضی اعداد آن‌قدر بزرگ‌اند که مغز انسان نمی‌تواند اندازه‌شان را ببیند، اما ریاضیات هنوز می‌تواند آن‌ها را دقیق تعریف کند.