معنی مساوی در ریاضی چیست؟

وقتی می‌نویسیم ۴=۲+۲، علامت = چه معنایی دارد؟ این پرسش برای ریاضی‌دان‌ها پیچیده است، زیرا هنوز بر سر آنچه باعث تساوی دو چیز می‌شود، توافق ندارند. پژوهشی جدید برای اجرای اثبات‌های ریاضی در برنامه‌های کامپیوتری باعث شد این مسئله اهمیت زیادی پیدا کند.

مساوی به چه معنا است؟ بارکلی روسر، نظریه‌پرداز عددی در کتاب منطق برای ریاضیات در سال ۱۹۵۳ می‌نویسد: مفهوم x=y به این معنی است که x و y دو اسم از یک شیء یکسان هستند. ما محدودیتی برای ماهیت شیء یادشده نداریم؛ در نتیجه تساوی نه‌تنها بین اعداد بلکه بین مجموعه‌ها، توابع یا حتی بین اسامی هر شیء منطقی رایج است. تعریف یادشده مبهم اما کاربردی بود؛ با این‌حال مشکل واقعی زمانی شروع شد که سعی کردیم تعریف فوق را یا برای دانشمندان کامپیوتر یا بدتر از آن برای خود کامپیوترها توضیح دهیم.

ایزوموفریسم یا یک‌ریختی در اواخر قرن نوزدهم بود که با توسعه‌ی نظریه‌ی مجموعه‌ها که امروزه شالوده‌ی بخش زیادی از ریاضیات مدرن به شمار می‌رود، همه‌چیز تغییر کرد. نظریه‌ی مجموعه‌ها با مجموعه‌ها یا سری‌هایی از اشیای ریاضی سروکار دارد و تعریفی دیگر از تساوی را ارائه می‌دهد: اگر دو مجموعه دارای عنصرهای یکسانی باشند، مساوی درنظر گرفته می‌شوند که به تعریفی اصلی ریاضی مساوی شبیه است. برای مثال مجموعه‌های {1,2,3} و {3,2,1} برابر هستند زیرا ترتیب عنصرها در یک مجموعه اهمیتی ندارند.

تساوی در ریاضیات دو معنی متفاوت دارد با پیشرفت نظریه‌ی مجموعه‌ها، ریاضی‌دان‌ها به این نتیجه رسیدند که دو مجموعه در صورتی برابر هستند که روشی واضح برای ایجاد نگاشت بین آن‌ها وجود داشته باشد، حتی اگر دقیقا دارای عنصرهای یکسان نباشند. برای درک چرایی این موضوع، مجموعه‌های {1,2,3} و {a,b,c} را درنظر بگیرید. واضح است که عنصرهای هر مجموعه متفاوت هستند، بنابراین مجموعه‌ها برابر نیستند؛ اما همیشه‌ روش‌هایی برای نگاشت بین دو مجموعه وجود دارد؛ به‌طوری‌که هر حرف الفبا به یک عدد تصویر می‌شود. ریاضی‌دان‌ها به این نوع نگاشت یک‌ریختی یا ایزومورفیسم می‌گویند. در این نمونه، یک‌ریختی‌های متعددی وجود دارند، زیرا می‌توانید انتخاب کنید که هر عدد به یک حرف الفبا تخصیص پیدا کند، اما در بسیاری از نمونه‌ها تنها یک انتخاب واضح وجود دارد که در این صورت به آن یک‌ریختی متعارف می‌گویند

از آنجا که یک‌ریختی متعارف دو مجموعه تنها راه ممکن برای اتصال آن‌ها است، بسیاری از ریاضی‌دان‌ها این اتصال را نوعی تساوی درنظر می‌گیرند، گرچه از نظر تخصصی به معنی مفهوم تساوی که اغلب افراد می‌شناسند، نیست. کوین بوزارد از کالج سلطنتی لندن می‌گوید: