پارادوکس ها پارت1(هتل هیلبرت)

هتل هیلبرت فرض کنید به شهری سفر کرده‌اید و فراموش کردید از قبل اتاقی را در هتل رزرو کنید. خوشبختانه با هتلی زیبا روبه‌رو می‌شوید که به افتخار دیوید هیلبرت، ریاضیدان مشهور، بدین نام خوانده می‌شود. به قسمت پذیرش می‌روید و مشاهده می‌کنید این هتل دارای تعداد بی‌نهایت اتاق است: در واقع تعداد اتاق‌ها متناظر با اعداد طبیعی ۱، ۲، ۳، ۴ و الی آخر هستند بدون اینکه پایانی مشخص داشته باشند.

بااین‌حال مسئول پذیرش به شما می‌گوید که اتاق‌های هتل به‌طور کامل رزرو شده‌اند، اما شما به‌راحتی قانع نمی‌شوید. می‌دانید که با رعایت یک ترفند، شما و بی‌شمار مهمان دیگر می‌توانید در هتل اتاق بگیرید. به مسئول پذیرش پیشنهاد می‌دهید که هر مهمان به اتاقی با یک شماره بالاتر از محل اقامت فعلی خود برود. به‌این‌ترتیب، شخصی در اتاق یک به اتاق ۲ و شخص از اتاق ۲ به اتاق ۳ می‌رود و این روند تا آخر ادامه پیدا می‌کند.

ازآنجاکه هتل هیلبرت دارای تعداد نامحدودی اتاق خالی است، حتی هنگامی که به‌طور کامل رزرو باشد، هنوز اتاق برای میهمان‌های بیشتر وجود دارد. البته این تنها برای یک نفر صدق نمی‌کند، بلکه می‌توان تعداد زیادی از افراد را در این هتل جای داد. در این صورت مهمان‌های هتل نه‌تنها یک اتاق، بلکه باید چند اتاق جابه‌جا شوند.

مسئله‌ی فوق می‌تواند عجیب‌تر شود. حتی اگر تعداد نامتناهی مهمان را به هتل هیلبرت ببرید، باز هم می‌توانید آن‌ها را در هتلی که کاملا رزرو شده است، جای دهید. برای این کار، مهمان اتاق شماره‌ی ۱ باید به اتاق ۲، مهمان اتاق ۲ به اتاق ۴، مهمان اتاق ۳ به اتاق ۶ بروند و این ترتیب همین‌طور ادامه پیدا می‌کند. وقتی تمام افراد در اتاقی که شماره‌اش دو برابر شماره اتاق فعلی‌شان است، مستقر شدند، تعداد نامتناهی اتاق با شماره‌ فرد همچنان خالی خواهد ماند. دیوید هیلبرت، ریاضیدان آلمانی، تناقض هتل هیلبرت را در طول یک سخنرانی درباره‌ی بی‌نهایت در سال ۱۹۲۵ ارائه کرد. این مثال نشان می‌دهد که تمام مفاهیم را نمی‌توان از نمونه‌های متناهی به نمونه‌های نامتناهی منتقل کرد: عبارت‌های «تمام اتاق‌ها اشغال‌ شده‌اند» و «هتل نمی‌تواند مهمان‌های جدیدی را بپذیرد» در جهان واقعی مترادف هستند؛ اما در دنیایی با بی‌نهایت‌ها این‌گونه نیستند.