چگونه رادیکال دو یک عدد شد؟

یونانیان باستان فکر می‌کردند جهان را می‌توان فقط با استفاده از اعداد حسابی (اعداد طبیعی که صفر هم به آن‌ها اضافه شده ‌است) و نسبت بین آن‌ها (کسر یا چیزی که اکنون عدد کسری یا گویا می‌خوانیم) به‌طور کامل توصیف کرد. اما وقتی آن‌ها مربعی با ضلعی به طول یک واحد را درنظر گرفتند، این آرزو بر باد رفت و متوجه شدند قطر آن نمی‌تواند به شکل کسر نوشته شود.

اولین اثبات این موضوع (چندین اثبات وجود دارد) معمولا به فیثاغورس، فیلسوف سده ششم پیش از میلاد نسبت داده می‌شود؛ اگرچه هیچ یک از نوشته‌های او باقی نمانده و اطلاعات کمی درباره وی وجود دارد.

جان بل، استاد بازنشسته دانشگاه وسترن انتاریو می‌گوید: «این اولین بحران در چیزی بود که ما آن را بنیان‌های ریاضیات می‌خوانیم.» آن بحران برای مدت طولانی حل نشد. اگرچه یونانیان باستان می‌توانستند نشان دهند ریشه دوم ۲ (رادیکال ۲) چه چیزی نیست، قادر به توصیف خود رادیکال ۲ نبودند.

به مدت هزار سال، همین اندازه کفایت می‌کرد. ریاضیدانان عصر رنسانس هنگام تلاش برای حل معادلات جبری، آنچه را که اعداد گنگ یا غیرکسری می‌نامیدند، دستکاری می‌کردند تا به شکل موردنظر خود برسند.

نماد مدرن برای ریشه‌های دوم در قرن‌های ۱۶ و ۱۷ مورد استفاده قرار گرفت. با‌این‌حال، این سوال وجود داشت که آیا ریشه دوم دو به همان شکلی که عدد ۲ وجود دارد، وجود دارد؟ مشخص نبود.

ریاضیدانان با این ابهام به زندگی خود ادامه دادند. سپس در اواسط دهه ۱۸۰۰، ریچارد ددکیند متوجه شد حسابان (که ۲۰۰ سال قبل توسط ایزاک نیوتن و گوتفرید ویلهلم لایبنیتس ایجاد شده بود) شالوده‌ای سست دارد.

ددکیند، ریاضیدانی محتاط اما با استعداد که به کندی کار می‌کرد و آثار نسبتا کمی را منتشر می‌کرد، می‌خواست به دانشجویان خود درباره توابع پیوسته آموزش دهد، ولی متوجه شد نمی‌تواند توضیح رضایت‌بخشی از معنای پیوسته بودن تابع ارائه دهد. او حتی تعریف دقیقی از توابع در ذهن نداشت و استدلال کرد که به درک خوبی از نحوه عملکرد اعداد نیاز دارد.