فصل ۵ ریاضی هفتم،شمارنده ها و اعداد اول

سلااام به فصل ۵،شمارنده ها و اعداد اول خوش اومدین.👋 این مبحث یکی از مهمترین مباحثه ریاضی هفتمه.با همین نکات ،فرمول ها و چیزای مختلفی که این درس داره میتونی بعضی محاسبات رو وسون تر انجام بدی و کمکت کنه.در ضمن،این فصل مقدمه ای بر نظریه اعداد تو ریاضیاته که تو المپیاد هم از ۴ تا شاخه اصلیه.پس اگه میخوای تو المپیاد رو شرکت کنی،این یکی از مباحثیه که حتما باید به خوبی یادش بگیری.

یادتونه که اگه وقتی یه تقسیمی انجام میدادیم،برای اینکه بفهمیم درسته یانه، مقسوم‌علیه رودر خارج قسمت ضرب میکردیم و در اخر به‌علاوه باقی مانده میکردیم.که جواب میشد مقسوم. و اینکه باقیمانده نباید منفی میشد و همین طور،همیشه باید از مقسوم‌علیه بزرگتر می بود.

🔵بخش پذیری و شمارنده های یک عدد دو عدد طبیعی(اعداد نامنفی)، اگه باقیمانده تقسیم a بر b ،برابر صفر بشه، میگیم a بر b بخش پذیره. مثلا تقسیم ۹ بر ۳ ،باقیمانده نداره و صفره.پس ۹ بر ۳ بخش پذیره. اگه a بر b بخش پذیر باشه،میگیم a مضرب b هست.یه عددی در b ضرب شده و جوابش a شده. برای مثال ۲۷ بر ۹ بخش پذیره،پس ۲۷ مضرب ۹ هست.۹ در ۳ ضرب و جوابش ۲۷ شده. حالا شمارنده چیه؟ دوباره عدد a و b رو درنظر بگیرین.مثلا a بر b بخش پذیره،میگیم a مضرب b هست.درسته؟پس b شمارنده a هست. در واقع،شمارنده به عددی میگن که بر یک عدد دیگه بخش پذیر باشه. مثلا ۹، شمارنده ۸۱ هست.

⭐️هر عدد طبیعی بزرگتر از یک، حداقل ۲ تا شمارنده داره؛یکی خودشه و دومیه،عدد یک هست. ⭐️پس کوچک ترین شمارنده طبیعی هر عدد، یکه. ⭐️و بزرگترین شمارنده هر عدد،خود عدده. مثلا عدد ۱۵ رو در نظر بگیرین.میخوایم شمارنده هاش رو مشخص کنیم. بر چه اعدادی بخش پذیره؟ بر ۱، ۳، ۵ و ۱۵. پس اینا شمارنده هاش هستن.

🔵اعداد اول و مرکب عددیه که به غیر از خودش و یک، شمارنده دیگه ای نداره.یعنی بر عدد دیگه ای بخش پذیر نیست. مثل ۱۳،۱۷ یا ۱۹ و... که تعدادشون بیشماره. اما اعدادی که بیشتر از ۲ شمارنده دارن،مرکبن.مثل ۱۲.هم بر یک و خودش بخش پذیره،هم بر ۲،۳،۴ و ۶.

⭐️عدد یک، نه اوله نه مرکب ⭐️اعداد اول فقط فقط دوتا شمارنده دارن. ⭐️اعداد مرکب بیش از دو شمارنده دارن. در رابطه با اعداد اول توجه داشته باشین: ⭐️کوچک ترین و تنها عدد زوج اول، عدد ۲ هست.(بقیه اعداد زوج،بر ۲ بخش پذیرن).پس بقسه اعداد اول،فردند. ⭐️بهتره اعداد اول ۱ تا ۱۰۰ رو حفظ کنین.چون تو محاسبات بدردتون میخوره و کارتون سریع تر میشه.در اخر پست،اعداد اول رو میزارم. ⭐️ اعداد فرد بین ۱۰۰ تا ۱۱۰ همه اولند.به‌جز ۱۰۵. ⭐️به دو عدد اول که فقط دو واحد با هم اختلاف دارن،اعداد اول دوقلو میگن.مثل ۳ و ۵ یا ۵ و ۷

❗️چند نکته درباره ضرب و جمع اعداد زوج و فرد: زوج±زوج=زوج فرد±فرد=زوج فرد±زوج=فرد فرد×فرد=فرد زوج×زوج=زوج زوج×فرد=زوج حاصل جمع و تفریق هر تعدادعدد زوج،همواره زوجه. حاصل جمع و تفریق زدج تا عدد فرد،همیشه زوجه. و حاصل جمع و تفریق فرد تا عدد فرد،همیشه فرده. ⭐️ به طور کلی kامین عدد طبیعی زوج رو 2k مینویسن و kامین عدد طبیعی فرد رو 2k-1 مینویسیم. مثلا ۳۰ امین عدد زوج میشه ۳۰×۲=۶۰ و ۲۰امین عدد فرد

🔵تجزیه و شمارنده های اول یک عدد طبیعی گفتیم هر عدد مرکب،به صورت ضرب چندتا عدد نوشته میشه. میتونیم بگیم هر عدد‌ مرکب، از ضرب تعداد مشخصی از عددهای اول بدست میاد. مثلا ۱۸ از ضرب یکی ۲ و دوتا ۳ بدست میاد. ۱۸=۳×۳×۲ به این شمارنده ها،شمارنده های اول عددمون میگیم. تجه داشته باشین که تعداد اونا هم مهمه. به طور کلی،نوشتن عدد مرکب به صورت حاصل‌ضرب شمارنده‌های اولش،رو تجزیه میگن. تجزیه رو میشه به دو روش انجام داد. ۱. روش درختی، ۲. روش ستونی.

روش درختی بالا رو ببین.اونجا عدد ۳۶ رو مثلا زدم.تو این روش،میایم اول عدد رو مینویسیم و پایینش ۲ تا شاخه میکشیم.پایین یکیشون،یکی از شمارنده های اولش رو بنویس.حالا عدد رو بر همون شمارنده اوله تقسیم کن و جوابش رو زیر اون یکی شاخه بنویس.اگه جوابه عدد اول بود،تجزیه تمومه و اگه مرکب بود،همین جوری ادامه میدیم.و در اخر،به تعداد هر کدوم از شمارنده های اول مینویسیم و در هم ضرب میکنیم. مثلا تو مثال بالا،از تجزیه تونستیم بفهمیم که ۳۶ از ضرب دوتا ۲ و دوتا ۳ بدست میاد. برای اینکه یه وقت شمارنده اولی رو جا نندازی،میتونی دور اون رو خط بکشی.مثل من

۲. روش ستونی اول عددو مینویسیم،بعد سمت راستش یه خط عمودی میکشیم.حالا یکی از شمارنده های اولش رو اون سمت خط منویسیم، و عدد اصلی رو بر اون تقسیم میکنیم، و جواب رو زیر عدد اولیه مینویسیم.همینجوری ادامه میدیم تا در اخر جواب به عدد ۱ برسیم. ⭐️اتوجه داشته باشین که اگه عدد اولیه ،سمت راستش صفر داشت،به تعداد هر کدوم از صفر ها، یکی ۲ و ۵ میزاریم.مثلا اگه دوتا صفر داشت،۲ تا ۲ و ۲ تا ۵ میزاریم.

🔵تعداد شمارنده های طبیعی یک عدد طبیعی همونجور که میدونیم،یه عدد مرکب از اعداد اولی تشکیل شده که به اونا شمارنده های اول اون عدد میگیم.اما ایا میتونه شمارنده مرکب هم داشته باشه؟چرا نشه.مثلا عدد ۶۰‌رو در نظر بگیر ۲×۲×۳×۵=۶۰. حاصل ضرب ترکیبی از شمارنده های اولش،شمارنده این عدده.که چون مرکبه بهش میگیم شمارنده مرکب.مثلا ۴، یکی از شمارنده های مرکب ۶۰ هست.

⭐اگه تمام شمارنده های یک عدد(هم اول هم مرکب)رو به ترتیب بنویسیم:️حاصل ضرب اعداد اول و اخر، دوم و یکی مونده به اخر ،سوم و دوتا مونده به اخر و... همیشه برابر با همون عدد اولیه. ⭐️اگه بخوایم تعداد شمارنده های طبیعی یک عدد طبیعی رو محاسبه کنیم، بعد از تجزیه ،به تعداد هرکدوم از شمارنده های اول اوم رو با ۱ جمع میکنیم و در اخر اعداد یدست اومده رو در هم ضرب میکنیم.

🔵قوانین بخش پذیری میدونیم همه اعداد بر ۱ بخشپذیرن. اعدادی بر ۲ بخش پذیرن که زوج باشن. اعدادی بر ۳ بخشپذیرن که مجموع ارقامش بر ۳ بخش پذیر باشه.مثل ۱۲ اعدادی بر ۴ بخش پذیرن که دو رقم سمت راستش بر ۴ بخش پذیر باشه. اعدادی بر ۵ بخش پذیرن که رقم یکانش ۰ یا ۵ باشه. اعدادی بر ۶ بخش پذیرن که هم بر ۲ و هم بر ۳ بخش پذیر باشن. اعدادی بر ۷ بخش پذیرن که اگه رقم یکانش رو دوبرابر کنیم و از مابقی ارقام کم کنیم،باقیماندش یا صفر بشه یا یه مضربی از ۷ اعدادی بر ۸ بخش پذیرن که سه رقم سمت راست انها مضرب ۸ باشه. اعدادی بر ۹ بخش پذیرن که مجموع ارقامش بر ۹ بخش پذیر باشه. میدونیم که اعدادی بر ۱۰ بخش پذیرن که بر ۲و ۵ بخش پذیر باشن. ⭐️نکته=اعداد a و b وc رو در نظر بگیرین.اگه a=b×c باشه، اعدادی بر a بخش پذیر میشن که هم بر b و هم بر c بخش پذیر باشن.

🔵ب.م.م ب.م.م دو عدد a و b بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک اوناست.که نمادش هم پرانتزه (a,b). برای محاسبه ب.م.م اعداد،اونا رو به اعداد اول تجزیه میکنیم، و شمارنده های اول مشترک رو با کمترین تعداد موجود مینویسیم و در اخر در هم ضرب میکنیم.

❗️چندتا نکته درباره ب.م.م ⭐️اگه دو عدد طبیعی هیچ شمارنده مشترکی بزرگتر از ۱ نداشته باشن،اون وقت جواب ب‌.م.م اونا رو ۱ مینویسیم.در این حالت میگیم این دو عدد نسبت به هم اولند. ⭐️عدد ۱ و هر عدد طبیعی دیگه نیبت به هم اولن. ⭐️دو عدد اول مختلف همیشه نسبت به هم اولن. ⭐️اگه a شمارنده b باشه، اون وقت a=(a,b) ⭐️میدونیم هم عدد مضرب خودشه.پس اگه عدد a رو داشته باشیم،a=(a,a) ⭐️ب.م.م هر عدد اولی با یه عدد مرکب،درصورتی که اون عدد اول شمارنده عدد مرکب نباشه،برابره با ۱.

🔵ک.م.م ک.م.م دو عدد، کوچکترین مضرب مشترک اوناست. که نمادش هم کروشه هست[a,b]. برای محاسبه ک.م.م اعداد، اونا رو یه اعداد اول تجزیه میکنیم، بعد شمارنده های اولشون رو با بیشترین تعداد تکرار رو در هم ضرب میکنیم.

❗️چندتا نکته درباره ک.م.م ⭐️ک.م.م دو عدد نسبت به هم اول، برابر حاصل ضرب اوناست. ⭐️ک.م.م عدد ۱ و هر عدد طبیعی ،برابر همون عدد طبیعیه ⭐️ک.م.م هر عدد طبیعی با خودش،برابر همون عدده ⭐️اگه عددی مثل a شمارنده b باشه،اون وقت ک.م.م اون برابر bهست. ⭐️حاصل ضرب دو عدد همیشه برابر حاصل‌ضرب ب.م.م و ک.م.م اوناست.