فصل ۴ ریاضی هفتم، هندسه و استدلال

سلااام به فصل هندسه و استدلال خوش اومدین. در سالای قبل با بعضی از مفاهیمشون اشنا شدیم، مثل نیم خط و زاویه تقارن مساحت و ... . متاسفانه یا خوشبختانه این فصل تا سال دوازدهم ول کن نیست. درس سختی نیست اما باید تو حلش دقت داشته باشین.

🔵خط، نیم‌خط و پاره‌خط خط: از دو طرف بازه.مثل شکل ۱.معمولا دوسر خط که نامتنهای هست رو با حروف کوچک انگلیسی نمایش میدن. نیم‌خط: یه سرش بسته‌ست (نقطه شروع). نقطه رو با حرف بزرگ و امتدادش رو با حرف کوچک نشون می‌دیم (مثل نیم‌خط Ax). پاره‌خط: دو سرش بسته (دو نقطه). با دو حرف بزرگ نشون داده میشه (مثل AB).

⭐️نکته: اگه n تا نقطه روی یک خط باشن: تعداد پاره‌خط‌ها: 2÷n×(n−1)​ تعداد نیم‌خط‌ها: 2n

🔵طول پاره‌خط فاصله بین دو نقطه A و B رو طول پارخطAB میگن.و بالای AB، یک خط میزارن.

🔵 شرط وجود مثلث این نکته خیلی مهمه: در هر مثلث، مجموع هر دو ضلع باید حتما بزرگتر از ضلع سوم باشه. اگه حتی مساوی باشن، مثلث تشکیل نمیشه و تبدیل به یه خط صاف میشن!

🔵زاویه اگه یادتون باشه،از برخورد ۲ ضلع یه زاویه ایجاد میشد و با واحد درجه اندازه میگرفتیم. اگه زاویه کمتر از ۹۰ درجه بود،بهش میگفتیم زاویه تند. اگه ۹۰ درجه بود میگفتیم زاویه راست یا قائمه. اگر یه چیزی بین ۱۸۰ و ۹۰ بود میگفتیم زاویه باز. اگه ۱۸۰ درجه بود میگفتیم نیم صفحه

🔵حالت های مختلف دو زاویه دو زاویه متمم=زوایایی که جمعشون ۹۰ درجه میشد رو میگفتیم باهم متمم هستن. دو زاویه مکمل=زاوایایی هم که جمعشون میشه ۱۸۰ درجه، هم میگفتیم مکمل هم دیگه هستن. دو زاویه مجانب= دو زاویه ای که در کنار هم زاویه نیم صفحه یا همون ۱۸۰ رو تشکیل بدن،زایوه مجانب میگیم. دو زاویه مجاور =زاویه هایی که دارای راس مشترک و یک ضلع مشترک باشن رو دو زاویه مجاور میگیم. دو زاویه متقابل به راس=دو خط که هم رو قطع کنن، ۴ تا زاویه بوجود میارن که زوایای روبه‌رو برابرند.در این صورت،اون ۲ تا زاویه رو میگیم متقابل به راس هستن.

⭐️نکته= اگه یه زاویه تند رو به n قسمت تقسیم کنیم،تعداد کل زاویه های تند رو با این فرمول اندازه میگیریم: 2÷(n-1)n

🔵زوایا در مثلث میدونیم مجموع زوایای داخلی هر مثلث دقیقاً ۱۸۰ درجه هست. هر زاویه داخلی،یه زاویه خارجی هم داره دیگه، زاویه خارجی هر رأس برابره با مجموع دو زاویه داخلی غیرمجاورش.

🔵 انواع مثلث ها مثلث متساوی الساقین= مثلثیه که دو ضلع برابر داره. اگه بخوایم این کلمه رو به فارسی ترجمه کنیم،تو فرهنگستان و اینا بهش میگن "مثلث دو بَر برابر"😁 بریم سر اصل مطلب، نکته مهم این مثلث های دوبربرابر اینه که زاویه های بین دوساق و قاعده همیشه با هم برابرن. مثلث متساوی‌الاضلاع= مثلثی که هر سه ضلعش باهم برابر باشن رو مثلث متساوی‌الاضلاع میگن.پس قاعدتا هر سه زاویشون باهم برابر و مساوی ۶۰ درجه هست. مثلث قائم الزاویه=به مثلثی میگن که یه زاویه ۹۰ درجه داشته باشه. ضلع روبه‌رو به زاویه ۹۰ رو بهش "وتر" میگن. مثلث قائم الزاویه متساوی‌الساقین= یه نوع از مثلث های قائم الزاویه هست که دوتا ضلعش با هم برابره(وتر نه).و دوتا زاویه ۴۵ و یدونه ۹۰ درجه داره.

🔵چندضلعی‌ها چندضلعی ها از نظر اندازه زاویه‌هاشون به دو دسته تقسیم میشن: محدب (کوژ): هیچ زاویه داخلی بزرگتر از ۱۸۰ ندارد. مقعر (کاو): حداقل یک زاویه داخلی بزرگتر از ۱۸۰ دارد. راه تشخیصشون هم دو صورته: اگه ما هر ضلع دلخواهی رو امتداد بدیم،نباید شکلمون رو دو قسمت کنه،اگر همچین اتفاقی بیفته،شکلمون مقعره. روش دیگه اینه که اگر دو راس دلخواه انتخاب کنیم و به هم وصلشون کنیم،اون خط باید داخل شکل باشه،اگر حتی یکمش هم بیرون از شکل قرار داشته باشه،شکلمون مقعر هست.

⭐️نکته=فرمول مجموع زوایای داخلی: 180×(n−2) (که n تعداد اضلاع است). ⭐️مجموع زوایای خارجی: برای تمام چندضلعی‌های محدب، همیشه ۳۶۰ درجه است.

🔵چندضلعی‌های منتظم در این‌ها همه ضلع‌ها و زاویه‌ها برابرن. اندازه هر زاویه داخلی اونا رو با این فرمول محاسبه میکنیم: 2÷180×(n−2) برای اندازه گیری هر زاویه خارجی،۳۶۰ رو بر تعداد اضلاع تقسیم میکنیم. رابطه مهم: زاویه داخلی + زاویه خارجی مجاورش = ۱۸۰ درجه.

🔵تبدیل‌های هندسی (انتقال، تقارن، دوران) انتقال: تمام نقاط شکل را به اندازه‌ای ثابت در‌جهتی خاص جابه‌جا میکنه‌.درواقع شکل با یک بردار جابه‌جا میشه (اندازه و جهت عوض نمیشه و بدون هیچ چرخشی) تقارن دو نوع داره: تقارن محوری: قرینه نسبت به یک خط (مثل آینه).

🔵تبدیل‌های هندسی (انتقال، تقارن، دوران) انتقال: تمام نقاط شکل را به اندازه‌ای ثابت در‌جهتی خاص جابه‌جا میکنه‌.درواقع شکل با یک بردار جابه‌جا میشه (اندازه و جهت عوض نمیشه و بدون هیچ چرخشی) تقارن دو نوع داره: تقارن محوری: قرینه نسبت به یک خط (مثل آینه).

⭐️نکته: برای دوران ۱۸۰ و ۳۶۰ حول یک نقطه تعیین جهت نیاز نیست. یعنی فرقی نمیکنه که دوران رو ساعتگرد بدیم یا پادساعتگرد. ⭐️دوران ۱۸۰ حول یک نقطه،هیچ فرقی با قرینه مرکزی مسبت به یه نقطه نداره. ⭐️در هر سه حالت، شکل حاصل با شکل اولیه هم‌نهشت (دقیقاً یکسان) است.

🔵هم‌نهشتی هم‌نهشتی: زمانی که بشه دو شکل رو با انتقال، دوران یا تقارن بر هم منطبق کرد، در صورتی که دقیقا روی هم بیفتن و همه زاویه ها و اضلاع هم اندازه باشن، میگیم اون شکل ها باهم ، هم‌نهشتن.

⭐️نکته: برای دوران ۱۸۰ و ۳۶۰ حول یک نقطه تعیین جهت نیاز نیست. یعنی فرقی نمیکنه که دوران رو ساعتگرد بدیم یا پادساعتگرد. ⭐️دوران ۱۸۰ حول یک نقطه،هیچ فرقی با قرینه مرکزی نسبت به یه نقطه نداره. ⭐️در هر سه حالت، شکل حاصل با شکل اولیه هم‌نهشت (دقیقاً یکسان) است.

🔵هم‌نهشتی هم‌نهشتی: زمانی که بشه دو شکل رو با انتقال، دوران یا تقارن بر هم منطبق کرد، در صورتی که دقیقا روی هم بیفتن و همه زاویه ها و اضلاع هم اندازه باشن، میگیم اون شکل ها باهم ، هم‌نهشتن.

🔵کاشی کاری کاشی‌کاری: پر کردن صفحه با اشکال هندسی به کمک تبدیلات هندسی و بدون شکاف و بدون هم‌پوشانی. فقط با شکالی میشه کاشی‌کاری کرد که مجموع زوایای حول یک نقطه در آن‌ها ۳۶۰ درجه بشه.