دنباله فیبوناچی؛ الگوی اسرارآمیز طبیعت

دنباله یا اعداد فیبوناچی یکی از معروف‌ترین و زیباترین دنباله‌های ریاضی است که احتمالا نام آن را زیاد شنیده‌اید.در ادامه‌ سعی داریم نگاهی عمیق تر به کاربرد و حضور روشن آن در طبیعت بپردازیم

دنباله‌ی اعداد فیبوناچی یکی از معروف‌ترین دنباله‌های ریاضی است که احتمالا نام‌ آن را به‌دفعات در جاهای مختلف، از جمله فیلم و سریال، کتاب و موسیقی و حتی دنیای اقتصاد، شنیده باشید. هر عدد در این دنباله از مجموع دو عدد قبلی آن به دست می‌آید؛ یعنی: ۰, ۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴٬ …

کاربرد اعداد فیبوناچی: دنباله‌ی فیبوناچی در زمینه‌های بسیاری کاربرد دارد. علم اقتصاد، به‌خصوص فارکس و بازار سهام و همچنین فیزیک نور به‌دفعات از این دنباله استفاده می‌کنند. این سیستم به‌وفور در طبیعت، از جمله شاخه‌های درختان، مولکول‌های دی‌ان‌ای و حتی کهکشان‌ها دیده می‌شود. نسبت طلایی و دنباله‌ی فیبوناچی در موسیقی نیز کاربرد دارد و حتی روش آهنگسازی خاصی به نام سیستم شیلینگر به استفاده از این دنباله اختصاص یافته است.

اعداد فیبوناچی در طبیعت امروزه، الگوهای مربوط به دامنه‌ی فیبوناچی را می‌توان از مقیاس خرد تا کلان و در سیستم‌های بیولوژیکی تا اشیا بی‌جان مشاهده کرد. نسبت طلایی در تمام ساختارها و الگوهای موجود در جهان قابل مشاهده نیست؛ اما فراوانی آن به‌حدی است که حائز اهمیت باشد.

گلبرگ‌های گل: تعداد گلبرگ‌های گل‌ها همواره از دنباله‌ی فیبوناچی پیروی می‌کند. از نمونه‌های معروف می‌توان به گل سوسن با سه گلبرگ، گل آلاله با پنج گلبرگ، کاسنی با ۲۱، گل دیزی با ۳۴ و همین‌طور گل‌هایی با ۵۵ یا ۸۹ گلبرگ اشاره کرد.

شاخه‌های درخت دنباله‌ی فیبوناچی در درخت‌ها از رشد تنه شروع می‌شود و سپس با قد کشیدن درخت، به شکل مارپیچ به سمت بیرون ادامه می‌یابد. نسبت طلایی در شاخه‌های درخت نیز قابل مشاهده است. تنه ابتدا به دو شاخه و بعد یکی از این دو شاخه خود به دو شاخه‌ی دیگر منشعب می‌شود، درحالی‌که که شاخه‌ی دیگر بدون انشعاب باقی می‌ماند. این روند به همین شکل ادامه پیدا می‌کند. سیستم‌های ریشه‌ای و حتی جلبک‌ها نیز از این الگو پیروی می‌کنند.

صدف‌های دریایی پوسته‌های ناتیلوس (موجودات دریایی معروف به «فسیل‌های زنده») وقتی برش می‌خورند، مارپیچی لگاریتمی را به نمایش می‌گذارند که از بخش‌های محفظه‌ای تشکیل شده است. هر محفظه‌ی جدید برابر است با اندازه‌ی دو محفظه‌ی قبل از آن که مارپیچ لگاریتمی را ایجاد می‌کند. این رشد متناسب به این دلیل اتفاق می‌افتد که ناتیلوس در طول زندگی خود تا رسیدن به اندازه‌ی کامل با سرعت ثابتی رشد می‌کند.

کهکشان‌های مارپیچی جای تعجب نیست که کهکشان‌های مارپیچی نیز از الگوی آشنای فیبوناچی پیروی می‌کنند. کهکشان‌های راه شیری، آندرومدا و M81 دارای چندین بازوی مارپیچی هستند که کاملا با مارپیچ فیبوناچی منطبق هستند.

چهره و اندام صورت انسان یا غیر انسان مملو از نمونه‌هایی از نسبت طلایی است. فاصله‌ی دهان و بینی با چشم‌ها و پایین چانه هر کدام نسبت طلایی را رعایت کرده است. اگرچه بدن افراد با یکدیگر متفاوت است؛ اما میانگین‌ها همواره به سمت عدد فی مایل هستند. حتی این‌طور گفته شده است که هرچه تناسب اندام فرد به عدد فی نزدیک‌تر باشد، به چشم جذاب‌تر می‌آید.

زنبورهای عسل از بسیاری جهات از دنباله‌ی فیبوناچی پیروی می‌کنند. برجسته‌ترین مثال، تقسیم تعداد زنبورهای ماده‌ی یک کندو بر تعداد زنبورهای نر است (ماده‌ها همیشه از نرها بیشترند) که معمولا عددی نزدیک به ۱٫۶۱۸، یعنی نسبت طلایی، به دست می‌آید. بعلاوه، شجره‌نامه‌ی زنبورهای عسل نیز از این الگو پیروی می‌کند. نرها فقط یک مادر دارند، درحالی‌که ماده‌ها هم پدر و هم مادر دارند. در نتیجه، در این نسب‌نامه نرها ۲، ۳، ۵ و ۸ جد دارند و به همین ترتیب زنبورهای ماده هم ۲، ۳، ۵، ۸، ۱۳ و الی آخر. حتی فیزیولوژی زنبورها هم به زیبایی از منحنی طلایی پیروی می‌کند.

حتی دنیای میکروسکوپی نیز از دنباله‌ی فیبوناچی در امان نیست. مولکول DNA برای هر چرخه‌ی کامل از مارپیچ دو‌تایی خود، ۳۴ آنگستروم (۱۰ به توان -۱۰ متر) طول و ۲۱ آنگستروم عرض دارد. این اعداد ۳۴ و ۲۱ از سری فیبوناچی هستند و نسبت آن‌ها ۱٫۶۱۹۰۴۷۶ و نزدیک به عدد فی است.

دنباله‌ی فیبوناچی در موسیقی غربی و گام‌های موسیقی نقش بزرگی ایفا می‌کند. به این موارد دقت کنید:‌ یک اکتاو پیانو شامل ۱۵ نوت است که از بین آن‌ها ۸ کلید سفید و ۵ کلید سیاه هستند. هر گام از ۸ نوت تشکیل ‌شده است که نوت سوم و پنجم اساس آکورد پایه را می‌سازند. در هر گام، نوت غالب، نوت پنجم است که هشتمین نوت در ۱۳ نوت سازنده‌ی اکتاو نیز است. ۸ تقسیم بر ۱۳ برابر است با ۰٫۶۱۵۳۸، تقریبا برابر با نسبت طلایی. تمام این اعداد مطرح‌شده (۳،۵،۸،۱۳) از دنباله‌ی فیبوناچی هستند.

موتزارت بسیاری از آثار خود، به‌خصوص سونات‌های پیانو را بر اساس نسبت طلایی ساخته است. کارشناسان حوزه‌ی موسیقی مدعی هستند بتهوون، بلا بارتوک، کلاد دبوسی، فرانتس شوبرت، باخ و اریک ساتی هم از این تکنیک برای نوشتن سونات‌های خود استفاده کردند؛ اما کسی نمی‌داند چرا استفاده از این تکنیک در موسیقی موفقیت‌آمیز بوده است.