مسائل ریاضی حل نشده ولی به ظاهر ساده

در دنیای ریاضیات، مسائل حل‌نشده‌ای وجود دارد که باهوش‌ترین ریاضیدانان سال‌ها است موفق به حل آن‌ها نشده‌اند؛ این سوالات به‌قدری مهم است که برای حل برخی از آن‌ها جایزه یک‌ میلیون دلاری در نظر گرفته شده است. امروز میخواهیم با برخی از این سوالات جذاب آشنا شویم :)

اعداد اول، اعدادی هستند که تنها بر خودشان و یک بخش‌پذیرند. تا آنجایی‌که ما می‌دانیم، تعداد اعداد اول بی‌شمار است و ریاضی‌دانان سخت درتلاش برای یافتن بزرگ‌ترین عدد اول بعدی هستند. اما تعدادی از اعداد اول هستند که حاصل تفریق آن‌ها ۲ است، مثل ۴۱ و ۴۳. آیا تعداد این اعداد نیز بی‌نهایت است؟ هرچه اعداد اول بزرگ‌تر می‌شوند، یافتن این دوقلو‌ها (twin primes) سخت‌تر می‌شود؛ اما از لحاظ تئوری این اعداد نیز باید بی‌نهایت باشند. مشکل اینجا است که هنوز هیچ‌کسی نتوانسته این بی‌نهایت‌بودن اعداد اول دوگانه را اثبات کند.

حدس بیل (Beal Conjecture) یکی دیگر از مسائل مهم ریاضی است که به نظر ساده می‌آید؛ اما هنوز کسی موفق به حل آن نشده است. براساس این مسئله، اگر Ax + By = Cz و A ،B ،C، اx، اy و z همگی اعداد صحیح مثبت باشند ( اعداد بزرگ‌تر از صفر)، A ،B و C باید همگی یک عامل اول مشترک داشته باشند. عامل اول مشترک بدین‌ معنا است که هر یک از این اعداد باید بر عدد اول یکسانی پخش‌پذیر باشد. مثلاً عامل اول مشترک اعداد ۱۵، ۱۰ و ۵ برابر است با ۵ و همه آن‌ها بر عدد اول ۵ بخش‌پذیرند. این مسئله تا اینجا ساده به‌ نظر می‌رسد و شاید نمونه آن را در درس جبر دبیرستان حل کرده باشید. اما مشکل این‌جا است که ریاضیدانان هنوز نتوانسته‌اند حدس بیل را با x، y و z بزرگ‌تر از ۲ حل کنند. به‌عنوان مثال اگر عامل اول مشترک ما ۵ باشد، آن‌وقت ۵۱ + ۱۰۱ = ۱۵۱ اما ۵۲ + ۱۰۲ ≠ ۱۵۲. این مسئله را میلیاردر اهل تگزاس به‌نام اندرو بیل مطرح کرده و به کسی که سرانجام موفق به حل آن شود، یک میلیون دلار جایزه از سمت انجمن ریاضی آمریکا اهدا خواهد شد.

حدس کولاتز (Collatz conjecture) یکی‌ از مشهورترین مسائل حل‌نشده‌ی ریاضی است و ازآنجاکه بسیار ساده به نظر می‌رسد، می‌توانید آن را برای کودکان دبستانی توضیح دهید و آن‌ها احتمالاً آنقدر از این مسئله خوششان بیاید که بخواهند جوابی برایش پیدا کنند. مسئله کولاتز به این صورت است: ابتدا یک عدد به‌دلخواه انتخاب کنید. اگر این عدد زوج بود، آن را به ۲ تقسیم کنید و اگر فرد بود آن را در ۳ ضرب و سپس با ۱ جمع کنید. این مراحل را برای عدد جدید به‌دست‌آمده ادامه دهید. عددی که سرانجام به آن می‌رسید، همیشه ۱ خواهد بود. به‌عنوان مثال اگر عدد انتخابی ۶ باشد، انجام این مراحل، این اعداد را نشان خواهد داد: ۶، ۳، ۱۰، ۵، ۱۶، ۸، ۴، ۲، ۱. ریاضیدانان میلیون‌ها عدد پیدا کرده‌اند که از این قاعده پیروی می‌کند؛ اما مشکل این‌جا است که هنوز نتوانسته‌اند عددی پیدا کنند که طبق این قاعده پیش نرود. احتمال دارد که عددی بسیار بزرگ که میل‌ به بی‌نهایت دارد یا عددی که در یک چرخه گیر کند، هرگز به یک نرسد؛ ولی تابه‌حال کسی نتوانسته این عدد را پیدا کند.

در تصویر بالا تابع حدس کولاتز را مشاهده میکنید.

حدس گلدباخ (Goldbach's conjecture) نیز مانند حدس اعداد اول دوقلو، مسئله حل‌نشده دیگری درباره‌ی اعداد اول است که به‌ظاهر ساده اما حل آن به‌شدت دشوار است. این مسئله می‌گوید آیا هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از ۲، مجموع دو عدد اول است؟ شاید بگویید واضح است که پاسخ مثبت است؛‌ چراکه‌ عدد ۴ مجموع دو عدد اول ۳ و ۱ یا عدد ۶ مجموع دو عدد اول ۵ و ۱ است و این روند به‌همین‌صورت ادامه دارد. راستش را بخواهید، این مسئله از نظر کریستین گلدباخ، ریاضیدان آلمانی، که آن را در سال ۱۷۴۲ مطرح کرد، به همین‌ شکل حل شده بود. او با اطمینان کامل گفته بود «هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از ۴ می‌تواند به‌صورت مجموع دو عدد اول نوشته شود.» اما با وجود قرن‌ها تلاش، تابه‌حال هیچ‌کس نتوانسته است ثابت کند که این قاعده همیشه و برای تمام اعداد جواب می‌دهد. حقیقت این است که اگر ما اعداد را بزرگ و بزرگ‌تر کنیم و به‌همین روند ادامه دهیم، شاید به عددی برسیم که برابربا مجموع دو عدد اول نباشد یا به عددی برسیم که تمامی قوانین و منطقی را که تابه‌حال از آن استفاده می‌کردیم، نقض کند. بی‌شک ریاضیدانان تا جوابی برای این مسئله پیدا نکنند، دست از تلاش برنخواهند داشت. تا به امروز، حدس گلدباخ برای همه اعداد صحیح زوج تا ۴ در ۱۰۱۸ تأیید شده است؛ اما اثبات تحلیلی آن هنوز از دسترس ریاضیدانان دور است. بااین‌حال، اجماع عمومی بر این است که این حدس به‌خاطر ماهیت توزیع اعداد اول درست است. چراکه هرچه یک عدد صحیح بزرگتر باشد، احتمال بیشتری وجود دارد که بتوان آن را به صورت مجموع دو عدد دیگر بیان کرد. بنابراین، هرچه یک عدد صحیح بزرگتر باشد، احتمال اینکه حداقل یکی از این ترکیب‌ها فقط از اعداد اول تشکیل شده باشد، بیشتر است.