کمی تدریس‌طور، مثلثات یازدهم

این درس حقیقتا برای من هم به دلیل ایده‌های فراوان و فرمول‌های بی‌شمارش سخت بود پس گفتم شاید این مطلب کمکمون کنه✨

سلام سلام، لانایا/مون هستم با یک مطلب دیگه🚶🏻‍♀️ خب اول از همه باید یه قانون ساده و مهم رو بگیم. این قانون که با رمز «هستک» شناخته می‌شه به شرح زیره: ناحیه اول: (ه‍) ← همه مثبت ناحیه دوم: (س) ← سینوس مثبت ناحیه سوم: (ت) ← تانژانت (و کتانژانت) مثبت ناحیه چهارم: (ک) ← کسینوس مثبت همون‌طور که دیدید، این رمز کوچیک و به‌دردبخور نشون می‌ده که فرمول‌های مثلثاتی‌مون توی نواحی مختلفِ دایره‌ی مثلثاتی، چه علامتی دارن. قابل توجهه که مثلا ناحیه دوم که گفته سینوس مثبت، یعنی فقط سینوس مثبته و بقیه منفی‌ان.

مطلب مهم دیگه‌ای که هست، تشخیص و ساده‌ کردن زوایای بزرگه. مثلا وقتی میگن sin(570) شما نمی‌تونید تشخیص بدید چه زاویه‌ایه، مثبته یا منفیه و غیره چون خیلی بزرگه. روشش اینه: ۱. مضارب ۲π درجه رو کلاً حذف کنید. (۳۶۰، ۷۲۰، ...) یعنی: sin(570) = sin(۲π+210) = sin(210) 2. حالا زاویه کوچیکتره و می‌تونید حداقل تعیین کنید توی چه ناحیه دایره مثلثاتیه. پس علامت مثبت و منفیش رو هم با توجه به اسلاید قبل می‌فهمیم. ۳. حالا یه قانونی هست. اگه این عدد هنوز بزرگ بود و تمام ۲π ها رو حذف کرده بودید، میمونه مضارب کوچیکتر. •اگه مضارب فرد مثل π½ و ³/₂π و ... درونش داشت، جنس رو عوض می‌کنی یعنی سینوس رو به کسینوس تبدیل می‌کنی و برعکس. •اما اگه π داشت، جنس رو عوض نمی‌کنی و احتمالاً فقط باید به علامت دقت کنی.

یه سری اتحاد مهم هست که از دهم باید بلد باشید. ۱) sin² + cos² = 1 2) tan² + 1 = 1/cos² 3) cot² + 1 = 1/sin² 4) tan + cot = 1/sin.cos ۵) tan.cot = 1

حالا اتحاد های جدید رو داریم که برای نسبت های a+b , a-b , 2a هستن. 1) sin(a±b) = sin(a).cos(b) ± cos(a).sin(b) اینجا اگه قسمت اول + است دومی هم همونه و عین همن. 2) cos(a+b) = cos(a).cos(b)-sin(a)sin(b) اینجا علامت ها برعکسن، من دیگه یه بار نوشتم. 3) tan(a+b) = tan(a) + tan(b) / 1 - tan(a).tan(b) اینجا یه نکته‌ای هست، اگه جمعه، صورت جمع و مخرج برعکسه. و اگه منهی باشه هم باز صورت منهی و مخرج برعکس میشه یعنی بعلاوه میشه. من خودم cot رو حفظ نمی‌کنم. ترجیح می‌دم تانژانت رو دربیارم و صرفا معکوسش کنم.

حالا برای روابط (2a): sin(2a) = 2sin(a).cos(a) cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) = 2cos²(a) - 1 = 1 - 2sin²(a) (کسینوس رو به سه فرمول نوشتم. صرفا سینوس و کسینوس رو برحسب هم نوشتم پس چیز خاصی نیست) tan(2a) = 2tan(a) / 1 - tan²(a) کتانژانت هم که همون معکوس تانژانته پس من فرمول نمی‌نویسم.

حالا یه سری روابط هستن که خیلی واضح و سریع از همین روابطی که گفتم بدست میان. اول اینا رو می‌نویسم. (cos²(a) = ½ (1+cos(2a) sin²(a) = ½ (1-cos(2a)) اینا فرمول های طلایین. ما دو برابر زاویه رو درمیووردیم اما گاهی دو برابر زاویه رو داریم و نصفش رو می‌خوایم. sin(a). cos(a) = ½ sin(2a) sin⁴ + cos⁴ = 1 - 2sin².cos² (sinx ± cosx)² = 1 ± sin2x tanx + cotx = 2 / sin2x cotx - tanx = ۲cot2x (مثلا این با مخرج مشترک اینا بدست میاد.)

یه سری هاشون هم هستن که حقیقتا راحت بدست نمیان، صرفا هم توی تست ها استفاده می‌شن. ولی خب جوابن دیگه! درواقع توی تست‌های سخت که نمی‌دونی چه خاکی بر سر بریزی، باید از اینا استفاده کنی. sinx + cosx = ✓2 sin (x + ¼π) = ✓2 cos (x - ¼π) sin(a+b).sin(a-b) = sin²(a) - sin²(b) cos(a+b).cos(a-b) = cos²(a) - sin²(b) این سه تا رو داشته باشید. اسلاید بعد نسبت های ۳a رو میگم که همچنان جزو این غیرضروری‌هان چون میتونید این‌شکلی بدستشون بیارید. sin(3a) = sin(2a+a) و از فرمول برسید. اما خب سخته دیگه.

sin(3a) = 3sin(a) - 4sin³(a) cos(3a) = 4cos³(a) - 3cos(a) tan(3a) = 3tan(a) - tan³(a) / 1 - 3tan²(a) آره دیگه... راستی علامت (/) که می‌ذارم علامت کسر تقسیمه، گیج نشید🚶🏻‍♀️

حالا یه سری ایده‌ها هستن که توی سوالات باید همون اول که ‌می‌بینید به ذهنتون بیاد. •اول اگه ضرب چند تا cos پشت هم داشتید که زاویه هاشون دوبرابر هم بود یعنی: cosx.cos2x.cos4x... باید ضربدر و تقسیم بر sinx کنیم. بعد چیکار می‌کنیم؟ بله داریم sinx.cosx این چی بود؟ sin2x.½ •بعد اگه یه تساوی عجیب غریب داشتید مثلا: sin(x+¼π) = cos(¾π+3x) شاید ذهنتون قفل شه و بگید وا این چه سمیه اما بله. کلا این تساوی ها ایده‌شون اینه. اگه دوتا چیز هم‌جنس برابر بودن، زوایا هم برابر می‌شن. یعنی اگه سینوس برابر سینوس بود زاویه هاشونو برابر می‌ذارید. اما اگه سینوس برابر کسینوس بود باید بگید جمع زاویا برابر ۹۰ یا π½ هستن. بعد دیگه زاویه درمیاد و خدافظ. •اگه یه همچین چیزی دیدید: a.sinx + b.cosx باید از a+b✓ فاکتور بگیرید. دیگه همینا به ذهنم میاد...🚶🏻‍♀️