فصل ۶ ریاضی هفتم، سطح و حجم

سلام به فصل ۶ سطح و حجم خوش اومدین. در سالای قبل به بعضی مفاهیم اشنا شدیم.تو این فصل یکم بیشتر دربارشون میخونیم.

🔵حجم های هندسی کلا دو نوع حجم داریم،هندسی و غیرهندسی. حجم های مثل مکعب،استوانه،مخروط و هرم هندسی هستن. حجم هایی مثل گربه،گل،عینک،کفش و... غیرهندسی هست چون نمیتونیم براشون شکل خاصی تعیین کنیم. حجم های هندسی رو میتونیم به سه دسته تقسیم کنیم.

⭐️حجم های منشوری: حجم های منشوری دوتا قاعده دارن که شکلش چند ضلعیه و این دوتا با هم موازی و مساوی هستن.اگه راس های مقابل در هر کدومشون از قاعده هامون رو با یه خط راست به هم وصل کنیم، حجم پیدا میکنه که بهش میگن منشور.منشور میتونه چند پهلو باشه و بستگی داره که قاعده چند ضلعی باشه. اگه n ضلعی باشه،منشورمون nپهلو میشه.و البته خب منشور ۲ پهلو یا ۱ پهلو نداریم.

❗️نکته= استوانه هم یه نوع منشور محسوب میشه و قاعدش دایره هست. ❗️حجم های منشوری دونوع هستن.قائم و مایل.که تو این فصل فقط با قائمش اشنا میشیم.

⭐️حجم های هرمی: فرض کنین یه nضلعی داریم.اگه همه راس هاش رو به یه نقطه تو فضا وصل کنیم،یه حجم بوجود میاد که بهش میگیم هِرَم. پس هرم ها یه قاعده دارن.

⭐️حجم های کروی: از اسمش معلومه شبیه یه گوی هست.اگه یه نیم دایره رو ۳۶۰ درجه دور قطرش دوارن بدیم،یه حجم وجود میاد که بهش میگیم کره.مثل توپ یا تیله و...

🔵راس،وجه و یال در منشور راس:یه مربع رو در نظر بگیر.وقتی که ضلع هاش به هم بر خورد میکنن یه نقطه ای بوجود میاد که بهش راس میگن.تو حجم ها هم همین طوره. یال:تو یه حجم،نقاط یا همون راس هامون با یه پاره خط هایی به هم وصل میشن.که به این پاره خط ها میگن یال. وجه: وقتی یال ها هم دیگه رو در راس ها قطع میکنن، در اقع یه چند ضلعی تشکیل میدن،بهش میگن وجه.مثلا یه جسم مکعبی مثل تاس،۶ وجه داره.

❗️اگه یه تعریف دیگه هم بخوایم در نظر بگیریم: به دوسطح موازی که سطح منشوری رو قطع میکنه میگن قاعده، به سطح های اطرافش میگن وجه های جانبی، به محل برخورد سطح ها میگن یال، و به نقطه برخور هر سه سطح (یا هر سه یال)میگن راس. ⭐️نکته:یه منشور nپهلو رو درنظر بگیر.یه سری فرمول براش هست که بهتره بدونی: تعداد یال ها=3×n تعداد راس ها=2×n تعداد وجه ها=2+n

🔵رنگ امیزی مکعب ها فرض کنین که ما یه مگعبی داریم که خودش از ۶۴ تا مکعب کوچیکتر تشکیل شده(۴×۴×۴). وقتی میندازیمش تو یه سطل رنگ و بعد بیرونش میاریم،سطح هایی که بیرون موندن،رنگی شدن.بعضی از مکعبای کوچیکتر فقط سه وجهشون رنگیه.بعضیاشون دوجه و بعضی ها هم ۳ وجهشون رنگیه.دقت کنین اون مکعب کوچولوهایی که داخل مکعب هستن،رنگی نمیشن.فقط سطح بیرونی رنگی میشه.

به طور کلی اگه همه سطح بیرونی یک مکعب n×n×n رو رنگ کنیم: ⭐️تعداد مکعب های واحد شامل ۰ وجه رنگی=(n-2)×(n-2)×(n-2) ⭐️تعداد مکعب های واحد شامل ۱ وجه رنگی=(n-2)×(n-2)×6 ⭐️تعداد مکعب های واحد شامل ۲ وجه رنگی=(n-2)×12 ⭐️تعداد مکعب های واحد سه وجه رنگی (در صورتی که ما یه "مکعب یا مکعب مستطیل بزرگ" داشته باشیم،نه حجم دیگه ای) همیشه ۸ تاست.

🔵زاویه های دید در حجم های هندسی حقیقتا این مبحث فقط نیاز به دقت داره.وقتی به یه جسم از زاویه بالا،روبه رو، کنار یا پشت نگاه میکنیم رو نماهای جسم از جهات مختلف میگن.باید حواسمون باشه که مکعب ها که رو یا کنار هم گذاشته میشن و به صورت سه بعدی بهمون نشون میدن،چطوری و چندتا هستن و اینکه بعضیاشون ممکنه که پشتشون خالی باشه یا اینکه پشتش داشته باشه و ما با دقت متوجه اون میشیم.

🔵محاسبه حجم های منشوری حجم منشور:برای محاسبه حجم منشور،اول مساحت یکی از قاعده هارو‌ پیدا میکنیم و بعدش در طول یکی از یال هایی که دوتا قاعده رو به هم وصل میکنه،ضرب میکنیم.حواستون باشه که طول هر یال رو ارتفاع منشور میگیم. حجم منشور=مساحت قاعده×ارتفاع=Sh=S×h حجم مکعب و مکعب‌‌مستطیل=اگه دقت کنین،مکعب هم قاعدش مربعه و هم وجه هاش.پس ارتفاعش با یال های قاعده اون برابره.پس حجمش برابره با: مساحت قاعده×ارتفاع=a×a×a برای حجم مکعب‌مستطیل که ابعادشa وb وc باشه،برابره با a×b×c

⭐️نکته: طول یال کوچکترین مکعبی که توسط مکعب‌مستطیل هایی به ابعاد a,b,c میشه ساخت برابره با [a,b,c]. ⭐️همینطور اگه بخوایم مکعب‌مستطیلی به ابعادa,b,c رو به مکعب هایی به یال n برش بزنیم،اون وقت بیشترین مقدار n برابره با(a,b,c)

🔵محاسبه مساحت کل و مساحت جانبی حجم های منشوری برای محاسبه مساحت جانبی یک n پهلو،باید مساحت همه پهلو ها رو حساب کنیم و با هم جمعشون کنیم. ⭐️اگه قاعده منشور یک n ضلعی منتظم هست،مساحت یکی از پهلو ها رو حساب میکنیم و در n ضرب میکنیم. برای محاسبه مساحت کل هم، مساحت دوتا قاعده رو حساب میکنیم و با مساحت جانبی جمع میکنیم.حواست باشه که مساحت یکی از قاعده هارو که حساب میکنی، در دو ضرب کنی. چون دوتا قاعده داریم و ما مساحت کل رو میخوایم.

استوانه اگه یادتون باشه گفتیم که استوانه هم یه نوع منشوره که قاعده اون دایره هست.خطی که مرکز دوتا قاعده رو به هم وصل میکنه رو بهش میگیم ارتفاع استوانه.

اگه تو یه استوانه،ارتفاع رو بگیریم‌h و شعاع قاعده رو r در نظر بگیریم: ⭐️حجم استوانه=ارتفاع×مساحت دایره=π×r×r×h ⭐️مساحت جانبی= ارتفاع×محیط دایره=2×r×h×π ⭐️مساحت کل=۲×مساحت قاعده+مساحت جانبی= 2×π×r×r+2×π×r×h=2πr(r+h) ⭐️نکته:اگه مستطیلی رو حول طول یا عرضش دوران بدیم،یک استوانه میسازه.اگه حول طولش دوران بدیم،طول میشه ارتفاع استوانه و عرض میشه شعاع قاعده. ⭐️فرض کنین یه مستطیل داریم که میخوایم به استوانه تبدیلش کنیم. اگه از روی طول،لوله کنیمش، طول مستطیل میشه ارتفاع استوانه و عرض مستطیل میشه محیط قاعده. ⭐️حالا اگه از روی عرض لول کنیم،عرض مستطیل میشه ارتفاع و طولش میشه محیط قاعده. ⭐️ اگه در مکعب،ضلع رو n برابر کنیم، حجمش n×n×n برابر میشه.مساحت جانبیش n×n برابر و مساحت کلش هم n×n برابر میشه.