چرا مخرج صفر در ریاضیات وجود ندارد؟

ما هرگز نمی‌توانیم عددی را بر صفر تقسیم کنیم. یک کسر واقعاً نمایانگر تقسیم صورت آن بر مخرج آن است. به عنوان مثال، کسر 33/88 به معنای "33 تقسیم بر 88" یا "33 قسمت از 88 قسمت مساوی" است.

یکی از نکات مهمی که باید در مورد کسرها به خاطر سپرد این است که هرگز نمی‌توانیم بر صفر تقسیم کنیم. از آنجا که ما همیشه بر اساس چیزی که در مخرج است تقسیم می‌کنیم، این فقط به این معناست که نمی‌توانیم صفر را در مخرج یک کسر داشته باشیم. این یکی از آن چیزهای عجیب در ریاضیات است که نمی‌توانیم انجام دهیم. بنابراین اگر صفر را در مخرج داشته باشیم، تنها چیزی که می‌توانیم بگوییم این است که کسر "تعریف‌نشده" است، به این معنی که هرگز نمی‌توانیم صفر را در مخرج یک کسر قرار دهیم.

به نظریه "قسمت‌های یک کل" توجه کنید. کسر 44/0 می‌تواند به صورت "44 قسمت از 0 قسمت مساوی" خوانده شود. اما این منطقی نیست. چگونه می‌توانیم 44 قسمت بگیریم اگر کل 0 باشد یا خالی باشد؟ نمی‌توانیم؛ این غیرممکن است و این یکی از توضیحات برای اینکه چرا 44/0 تعریف‌نشده است. به خاطر داشته باشید که این کاملاً متفاوت از داشتن صفر در صورت کسر است. اگر صفر در صورت وجود داشته باشد، مقدار کسر برابر با صفر خواهد بود. بنابراین چیزی مانند0/6برابر با صفر است.

چگونه یک کسر با مخرج صفر را تعریف کنیم؟مثال: مقدار 3/0 را پیدا کنید. از آنجا که نمی‌توانیم صفر را در مخرج یک کسر داشته باشیم، تنها چیزی که می‌توانیم بگوییم این است که این کسر "تعریف‌نشده" است. مقدار آن نه صفر است، نه سه، بلکه فقط تعریف‌نشده است.

برای اینکه چرا مخرج صفر تعریف نشده است، سه اثبات را در این مقاله بیان خواهیم کرد. 1- فرض کنید که یک عدد x وجود داشته باشد که برابر با a/0 باشد. طبق تعریف تقسیم، این به این معناست که: a = 0.x از آنجا که هر عددی که در صفر ضرب شود برابر با صفر است، نتیجه می‌گیریم که: a = 0 این نشان می‌دهد که تنها در صورتی که a = 0 باشد می‌توانیم چنین کسر را تعریف کنیم. اما اگر a برابر با صفر نباشد، هیچ مقدار خاصی برای x وجود ندارد.

2- مفهوم تابع: اگر بخواهیم تابعی را در نظر بگیریم که به شکل f(x) = a/x تعریف شده است، وقتی که x به سمت صفر نزدیک می‌شود، رفتار تابع از دو طرف متفاوت خواهد بود: وقتی x از سمت مثبت نزدیک می‌شود (مثلاً x = 0.1, 0.01 )، مقدار تابع به سمت بی‌نهایت مثبت میل می‌کند. وقتی x از سمت منفی نزدیک می‌شود (مثلاً ( x = -0.1, -0.01 ) مقدار تابع به سمت بی‌نهایت منفی میل می‌کند. این نشان می‌دهد که تابع در نقطه صفر نمی‌تواند مقداری مشخص داشته باشد و بنابراین نمی‌توانیم کسر با مخرج صفر را تعریف کنیم.

3-استدلال عددی: فرض کنید که ما بخواهیم یک عدد را بر صفر تقسیم کنیم و نتیجه آن را برابر با یک عدد خاص فرض کنیم (مثلاً c ) آنگاه باید بگوییم: c = a/0 اگر این کسر وجود داشته باشد، آنگاه باید بتوانیم آن را از طریق ضرب بازنویسی کنیم: a = c.0 از آنجا که هر عددی که در صفر ضرب شود برابر با صفر است، نتیجه می‌گیریم که فقط در صورتی که a = 0 باشد این معادله برقرار است. بنابراین اگر a > 0 یا a < 0 باشد، هیچ عددی نمی‌تواند این معادله را درست کند.